【二倍角练习题】在三角函数的学习中，二倍角公式是重要内容之一，它在解题、化简和证明中都有广泛的应用。掌握好二倍角公式，不仅能提高解题效率，还能加深对三角函数关系的理解。
本文将通过一些典型的练习题，帮助大家巩固二倍角公式的应用，并以表格形式展示答案，便于复习与查阅。
一、二倍角公式回顾
以下是常见的二倍角公式：
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦的二倍角 | $ \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta $ |
| 余弦的二倍角 | $ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta $ |
| 正切的二倍角 | $ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
这些公式可以用于计算或简化含有角度为两倍的三角函数表达式。
二、练习题及答案汇总
以下是一些关于二倍角的典型练习题及其解答，以表格形式呈现：
| 题号 | 题目 | 解答步骤 | 答案 |
| 1 | 已知 $ \sin\theta = \frac{3}{5} $，求 $ \sin 2\theta $ | $ \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta $ 由 $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $，得 $ \cos\theta = \frac{4}{5} $ $ \sin 2\theta = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25} $ | $ \frac{24}{25} $ |
| 2 | 已知 $ \cos\theta = \frac{1}{2} $，求 $ \cos 2\theta $ | $ \cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1 $ $ \cos 2\theta = 2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1 = 2 \times \frac{1}{4} - 1 = -\frac{1}{2} $ | $ -\frac{1}{2} $ |
| 3 | 已知 $ \tan\theta = \frac{1}{2} $，求 $ \tan 2\theta $ | $ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ $ \tan 2\theta = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} $ | $ \frac{4}{3} $ |
| 4 | 若 $ \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} $，求 $ \cos 2\theta $ | $ \cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta $ $ \cos 2\theta = 1 - 2 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - 2 \times \frac{3}{4} = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} $ | $ -\frac{1}{2} $ |
| 5 | 已知 $ \cos\theta = \frac{3}{5} $，求 $ \sin 2\theta $ | $ \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta $ 由 $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $，得 $ \sin\theta = \frac{4}{5} $ $ \sin 2\theta = 2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{24}{25} $ | $ \frac{24}{25} $ |
三、小结
通过以上练习题可以看出，二倍角公式在实际问题中的应用非常广泛。熟练掌握这些公式并能灵活运用，是学好三角函数的关键。建议同学们在日常学习中多做相关练习，逐步提升对公式的理解和应用能力。
希望本练习题对大家有所帮助！
