【对勾函数最值公式是什么?】“对勾函数”是数学中一种常见的函数形式，通常指的是形如 $ y = ax + \frac{b}{x} $（其中 $ a > 0, b > 0 $）的函数。这种函数的图像呈现出“对勾”形状，因此得名。在实际应用中，我们常常需要求解它的最大值或最小值，尤其是在优化问题中。
一、对勾函数的基本性质
- 定义域：$ x \neq 0 $
- 奇偶性：当 $ a $ 和 $ b $ 都为正时，函数为奇函数
- 单调性：
- 当 $ x > 0 $ 时，函数在 $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 处取得最小值
- 当 $ x < 0 $ 时，函数在 $ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $ 处取得最大值
二、最值公式的推导
对于函数 $ y = ax + \frac{b}{x} $，我们可以通过求导的方法来找到极值点：
1. 求导：
$$
y' = a - \frac{b}{x^2}
$$
2. 令导数为零，求极值点：
$$
a - \frac{b}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{b}{a} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{b}{a}}
$$
3. 将极值点代入原函数，得到最值：
$$
y_{\text{min}} = a \cdot \sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{\sqrt{\frac{b}{a}}} = 2\sqrt{ab}
$$
$$
y_{\text{max}} = a \cdot (-\sqrt{\frac{b}{a}}) + \frac{b}{-\sqrt{\frac{b}{a}}} = -2\sqrt{ab}
$$
三、最值公式总结
| 函数形式 | 最小值 | 最大值 |
| $ y = ax + \frac{b}{x} $（$ a > 0, b > 0 $） | $ 2\sqrt{ab} $ | $ -2\sqrt{ab} $ |
> 注意：该公式仅适用于 $ x > 0 $ 时的最小值和 $ x < 0 $ 时的最大值。若题目限定在某一区间内，则需结合具体范围进行分析。
四、应用场景
- 经济学中的成本与收益分析
- 工程优化设计
- 数学建模中的最小化或最大化问题
通过上述分析可以看出，“对勾函数”的最值公式其实非常简洁，关键在于理解其图像特征和函数性质。掌握这一公式后，可以快速判断函数在不同区间的极值情况，提高解题效率。
