在数学中，复数是一个非常重要的概念，它是由实部和虚部组成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i² = -1。复数的运算包括加减乘除等基本操作，今天我们就来详细探讨一下复数的乘法与除法法则。

一、复数的乘法法则

复数的乘法遵循分配律、结合律以及交换律。对于两个复数z₁ = a + bi和z₂ = c + di，它们的乘积可以通过以下公式计算：

\[ z₁ \cdot z₂ = (a + bi) \cdot (c + di) \]

根据分配律展开后得到：

\[ z₁ \cdot z₂ = ac + adi + bci + bdi² \]

由于i² = -1，可以进一步简化为：

\[ z₁ \cdot z₂ = (ac - bd) + (ad + bc)i \]

所以，复数相乘的结果仍然是一个复数，其实部为\(ac - bd\)，虚部为\(ad + bc\)。

二、复数的除法法则

复数的除法比乘法稍微复杂一些，但只要掌握了方法，就很容易解决。对于两个复数z₁ = a + bi和z₂ = c + di（其中z₂ ≠ 0），它们的商可以表示为：

\[ \frac{z₁}{z₂} = \frac{a + bi}{c + di} \]

为了简化这个表达式，我们需要将分母有理化。具体做法是将分子和分母同时乘以分母的共轭复数\(c - di\)，这样做的目的是消除分母中的虚数部分。因此，

\[ \frac{z₁}{z₂} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} \]

计算分母时，利用平方差公式：

\[ (c + di)(c - di) = c² - d²i² = c² + d² \]

计算分子时，同样使用分配律：

\[ (a + bi)(c - di) = ac - adi + bci - bdi² = (ac + bd) + (bc - ad)i \]

最终得到：

\[ \frac{z₁}{z₂} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c² + d²} \]

这意味着复数的商也是复数，其实部为\(\frac{ac + bd}{c² + d²}\)，虚部为\(\frac{bc - ad}{c² + d²}\)。

三、实际应用举例

假设我们有两个复数z₁ = 3 + 4i和z₂ = 1 - 2i，现在让我们分别计算它们的乘积和商。

1. 计算乘积

按照上面给出的乘法法则：

\[ z₁ \cdot z₂ = (3 + 4i)(1 - 2i) \]

\[ = (3 \cdot 1 - 4 \cdot (-2)) + (3 \cdot (-2) + 4 \cdot 1)i \]

\[ = (3 + 8) + (-6 + 4)i \]

\[ = 11 - 2i \]

所以，z₁与z₂的乘积为11 - 2i。

2. 计算商

接下来计算商：

\[ \frac{z₁}{z₂} = \frac{3 + 4i}{1 - 2i} \]

先将分母有理化，即乘以共轭复数\(1 + 2i\)：

\[ \frac{z₁}{z₂} = \frac{(3 + 4i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} \]

计算分母：

\[ (1 - 2i)(1 + 2i) = 1² - (2i)² = 1 + 4 = 5 \]

计算分子：

\[ (3 + 4i)(1 + 2i) = (3 \cdot 1 + 4 \cdot 2) + (3 \cdot 2 + 4 \cdot 1)i \]

\[ = (3 + 8) + (6 + 4)i \]

\[ = 11 + 10i \]

因此，商为：

\[ \frac{z₁}{z₂} = \frac{11 + 10i}{5} = \frac{11}{5} + \frac{10}{5}i \]

\[ = 2.2 + 2i \]

综上所述，z₁除以z₂的结果为2.2 + 2i。

通过上述例子可以看出，虽然复数的乘除运算看起来复杂，但只要按照相应的法则一步步进行，就能得出正确的答案。希望本文能帮助大家更好地理解和掌握复数的乘除法技巧。